Үч бурчтуктун бурчтары суммасы. үч бурчтуктун бурчтары суммага теоремасы

үч бурчтук үч тарапты (үч бурч) бир бурчтугу болуп саналат. Көпчүлүк учурда, бир бөлүгү каршы vertices өкүлү капиталдык кат, тиешелүү кичинекей тамгалар менен белгиленет. Бул макалада биз үч бурчтуктун бурчтары суммасына барабар эмне аныктайт геометриялык бул түрлөрүн карап, теорема, алып.

Түрлөрү ири бурчтар

үч vertices менен эркин зонаны түзүү төмөнкүдөй түрлөргө бөлүнөт:

• Бардык бурчтар курч болгон, курч-кетет;
• тик бурчтуу бир оң бурчун ээ болгон тарап, аны түзүү, буту айтылган, ал эми оң бурч үчүн карама-каршы маанайда болгон тарап Гипотенуза деп аталат;
• бир оор бурч оор болот ;
• капталдуу, ал эки тарап бирдей, алар жанынан, үчүнчү деп аталат - бул база менен үч бурчтук;
• болунот үч бирдей тарапты бар.

касиеттери

үч бурчтуктун ар бир түрүнө мүнөздүү болгон негизги касиеттерин бөлөт:

• зор тарап ар дайым жогору бурч карама-каршы, жана тескерисинче;
• бирдей ири тарап карама-каршы, жана тескерисинче бирдей бурчтар бар;
• ар бир үч бурчтуктун эки курч бурчу бар;
• ар кандай ички бурч чектеш эмес, ага караганда көбүрөөк сырткы бурч;
• бир эки бурчтан суммасы ар дайым кеминде 180 градус болуп саналат;
• сырткы бурч менен mezhuyut эмес, башка эки учуна, суммасын барабар.

үч бурчтуктун бурчтары суммага теоремасы

теоремасы сиз Euclidean учак жайгашкан геометриялык абалда, бардык бурчуна чейин кошо турган болсо, анда, алардын суммасы 180 градус болот деп айтылган. бул теоремасы далилдөөгө аракет кылалы.

Биз vertices KMN менен мыйзамсыз бурчтук бар болсун. M жогорку өткөрөт боюнча линия үчүн түздөн-түз окшоштук Kn (бул линия Euclid деп аталат). Бул K менен упайлар сапта MN ар тараптан уюштурулат деп чекитине белгилей кетүү керек. Биз параллелдик болуп, ички иштер, бүрүшүп түз CN жана М.А. менен биргеликте тобунда М.Н. кайчылашкан түзүү үчүн жат болуп, AMS жана MUF, бирдей бурч керек. Ушундан улам M жана N-жылдын vertices жайгашкан үч бурчтуктун бурчтары суммасы УКП бурч өлчөмүнө барабар деп төмөнкүдөй. Бардык үч бурчтар КТА жана алыш бурчуна суммасына барабар болгон сумманы турат. маалымат кайчылашкан ички бурчтар салыштырмалуу тараптуу параллелдүү саптары CL жана CM MA болгондуктан, алардын суммасы 180 градус болот. Бул теоремасы турат.

жыйынтык

Жогоруда теорема жогору төмөнкү кесепетинде турат: ар бир үч бурчтуктун эки курч бурчу бар. Муну далилдөө үчүн, келгиле, бул геометриялык сан бир гана курч бурч бар экенин ойлоп көрөлү. Сиз ошондой эле бурчтары боюнча эч курч эмес, деп ойлойбуз. Бул учурда, ал, бери дегенде, эки бурчтар барабар болгон баллга жеткен же 90 градустан жогору болушу керек. Бирок, бурчтан суммасы 180 градуска жогору болот. кем эмес, мындан ары - Бирок үч бурчтуктун теоремасы суммасы бурч боюнча 180 ° барабар бул, болушу мүмкүн эмес. Далилдениши керек болгон нерсе.

Менчик бурчунда

тышкы үч бурчтуктун бурчтары, суммасы кандай? Бул суроонун жообу, эки жолдун бирин колдонуу менен алууга болот. биринчи, ар бир чокуга бири алынат, башкача айтканда, үч бурчтар бурчтан, суммасын табуу керек. Экинчиси vertices алты бурчуна суммасын табуу үчүн керек экенин айтып турат. Биринчи элестетет башында менен күрөшүү. Ошентип, үч бурчтук, алты бурчтуу сырткы камтыйт - эки ар биринин үстүнө өзгөртүлгөн. Ар бир түгөй алар тик болгондуктан, өз ара бирдей бурчу бар:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Мындан тышкары, ал үч бурчтуктун сырткы бурчу менен mezhuyutsya эмес, эки ички иштер, суммасын барабар экени белгилүү болду. Ошондуктан,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Ушундан улам ар бир чокуга жанында бир-бирден кабыл алынат сырткы бурчтан, суммасы окшойт барабар болот:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 х (∟A + ∟V ∟S +).

бурчтан суммасы 180 градуска барабар экенин эске алсак, ал ∟A + ∟V ∟S = + 180 ° чыкса болот. Бул ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 х 180 = 360 ° дегенди билдирет. Экинчи параметр колдонулган болсо, алты бурчтан суммасы эки эсе, тиешелъълъгънё жараша, көп болот. үч бурчтуктун бурчтары суммасы б.а. сыртында болот:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 х (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

туура үч бурчтук

туура үч бурчтуктун бурчтары суммасына барабар эмне, арал бар? жооп болуп саналат, дагы бир үч бурчтуктун бурчтары айтылат теоремасы, ал 180 градуска чейин кошуп. Бир үн биздин ырастоосу (мүлктүк) төмөнкүдөй: туура үч бурчтуктун кескин бурчтар 90 градуска чейин кошуп. Биз анын ишенимдүүлүгүн далилдеп турат. бар ∟N = 90 ° берилген бурчтук KMN болсун. Бул ∟K ∟M = + 90 ° далилдөө үчүн зарыл.

Ошентип, бурчтан ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° суммасы жөнүндө теорема боюнча. Бул абалда ал ∟N 90 ° = деп айтылат. Бул ∟K ∟M + + 90 ° = 180 ° экен. Бул ∟K ∟M + = 180 ° тан - 90 ° = 90 °. Башкача айтканда, биз сыноо үчүн керек нерсе.

туура үч бурчтуктун жогоруда касиетинен тышкары, бул кошууга болот:

• буттары курч жалган бурчтар;
• буттары бир көп бурчтук болгон Гипотенуза;
• Гипотенуза караганда буту суммасы;
• 30 градус бурч менен карама-каршы жайгашкан үч бурчтуктун санын шыйрагы менен, Гипотенуза жарымы, башкача айтканда, анын жарымына барабар.

геометриялык абалда башка мүлк катары Pythagorean теоремасы белгилей кетсек болот. Ал 90 градус (бурчтуу) бир бурч менен үч бурчтугу деп ырастайт, буту аянттарында суммасы Гипотенуза чарчы барабар.

бир капталдуу үч бурчтуктун бурчтары суммасы

Буга чейин биз капталдуу үч бурчтук, эки бирдей тарапты камтыган, үч vertices менен бурчтугу экенин айтты. Бул мүлк геометриялык саны белгилүү: анын базасында бурчтар барабар. Келгиле, бул болсун.

капталдуу, СК болгон үч бурчтук KMN, ал - анын база. Биз ∟K = ∟N далилдөөгө милдеттүү. Андыктан, келгиле, бул магистр көрөлү - KMN биздин үч бурчтуктун биссектрисасы болот. бирдей биринчи белгиси менен ICA үч бурчтук үч бурчтук MNA болуп саналат. Башкача айтканда, CM = NM деп берилген гипотеза боюнча, MA жалпы тарап, ∟1 = ∟2, анткени М.А. - бул биссектриса. Эки Үч бурчтуктун бирдей колдонуп, бир ∟K = ∟N деп эсептеши мүмкүн. Демек, теоремасы да далилдеп турат.

Бирок биз кызыкдарбыз, үч бурчтук (капталдуу) бурчуна суммасы болуп саналат. Бул жагынан алганда, анын өзгөчөлүктөрүн ээ эмес болгондуктан, биз буга чейин талкууланган теорема тартып башталат. Башкача айтканда, биз ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, же 2 деп эмне үчүн айта алабыз х ∟K ∟M + = 180 ° (∟K = ∟N катары). үч бурчтуктун бурчтары суммага теоремасы мурда далилденген Бул, мүлктү, чыккынчылык кылбай турган.

үч бурчтуктун бурчтары каралып касиеттери тышкары, ошондой эле маанилүү сөздөр бар:

• менен бир болуп болунот бурчтук бийиктиги, базага түшүрүп келген, ошол эле учурда бирдей тараптардын жана ортосундагы бурч медианасы биссектрисасы болот симметриянын огу анын базасын;
• геометриялык көрсөткүчтүн тараптын өткөрүлөт медианасы (биссектриса, тоолуу), бирдей болуп саналат.

болунот үч бурчтук

Бул да туура деп, бардык партияларга бирдей бурчтук болуп саналат. Ошондуктан да бирдей жана бурчтар. Алардын ар бири 60 градус болот. Келгиле, бул мүлктү болсун.

Келгиле, биз үч бурчтук KMN бар деп элестетели. Биз KM = HM = к экенин билем. Бул болунот үч бурчтугу менен байланышы базасында жайгашкан бурчтары мүлкүн ылайык, деп билдирет ∟K = ∟M = ∟N. -Жылдан бери, үч бурчтуктун теорема ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° бурчуна суммасына ылайык, анда х 3 = 180 ° ∟K же ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Ошентип, кеп да далилдеп турат. Жогоруда теорема негизинде жогоруда далил көрүнүп тургандай, бурчтан суммасы бир болунот бурчтуктун, башка үч бурчтуктун бурчтары суммасы катары 180 градус болот. Ошондой эле бул теоремасы далилдөө зарыл эмес.

бир болунот бурчтуктун мүнөздүү кээ бир өзгөчөлүктөрү бар:

• геометриялык сүрөттөгү медианасы биссектриса бийиктиги бирдей, алардын узундугу (Х √3) катары эсептелет: 2;
• Бул бурчтугу айлана шарттарда болсо, анда радиусу барабар болот (Х √3): 3;
• айлана болунот үч бурчтугу менен жазылган болсо, анда анын радиусу (а х √3) болот: 6;
• геометриялык көрсөткүчтүн аянты бисмиллах менен эсептелет: (A2 х √3): 4.

оор үч бурчтук

бар аныктоосу менен алсак, бир оор чукул үч бурчтук, анын бурчу бири 90 180 градуска чейин жетет. Бирок, геометриялык абалда башка эки бурчтар экендигин эске алсак курч, алар 90 градусунан ашык эмес, деген тыянак чыгарса болот. Демек, үч бурчтуктар теорема бурчуна суммасы бир оор үч бурчтуктун бир бурчтан суммасын эсептөөдө иштейт. Ошондуктан, биз аман-эсен үч бурчтуктун оор бурчтан суммасы 180 градус жогору теорема негизинде айта алам. Дагы, бул теоремасы кайра-далил керек эмес.