Эсеп кандай болот? кошууну негизги теоремасы. экилик эсептөө

эсеп кандай болот? адамзат баштаганда номерлерин колдонбойт жана алар менен иштөө үчүн? номерлери сыяктуу күнүмдүк түшүнүктөрдүн, анын тамыры кайда бөлчөк, кемитип, кошумча жана көбөйтүү, анда ал адам өз өмүрүн жана көз карашындагы ажырагыс бөлүгү кылып жатат? адамдык логиканын бир кооз музыка Грек акылы математика, кошууну жана геометрия сыяктуу илимдерди суктанат.

Балким, математика, башка илимдер сыяктуу эле терең эмес, бирок, алардын эмне болорун, эл башталгыч көбөйтүү үстөл унутуп? бизге тааныш логикалык ой жүгүртүүсү, элге кыйын убакыт бериш үчүн, сандарды, үлүштөрүн жана башка каражаттарын пайдалануу менен, ошондой эле узак убакыт бою ата-бабаларыбызга берген жок. Чындыгында, кошууну өнүктүрүү алдында адам баласынын, билим жок аймак чындап эле илимий эмес.

Arithmetic - Математика алфавит болуп саналат

Arithmetic - сан Билим берүү, илим, ар кандай адамдар менен математика кызыктуу дүйнөсү менен тааныштырууга башталат. M. V. БУУнун сөзү менен айтканда, эсеп - бул биз үчүн Miropoznanie жол ачып, билим дарбазасы болот. Бирок ал туура, дүйнөнүн билим тамга жана сандардан, математика жана сөз билим бөлүнүп алат? Балким, байыркы күндөрдө, бирок илимдин жана техниканын тез өнүгүшүнүн бир мыйзам кабыл алат, азыркы дүйнө.

сөз "эсеп" (Gk. "Arifmos") грек келип, "сан" дегенди билдирет. Бул санын жана алар менен байланыштуу болушу да мүмкүн экенин баары каралат. Бул сан дүйнө: саны, сандык эрежелер боюнча ар кандай иш, ал боюнча көбөйтүү, кемитип менен байланышкан, ошондой эле берилген тапшырмалардын ..

Бул көбүнчө баштапкы кадам аритметикасы Математика жана алгебра, математикалык анализ сыяктуу андан да татаал, анын бөлүмдөрү, үчүн бекем база, жогорку математика жана Т деп кабыл алынат. Д.

кошууну негизги объектиси

кошууну негизи - жогорку эсептөө же эсептелет бүтүн, касиеттерин жана мыйзамдарды болуп сан теориясы. Чынында, табигый саны туура мамиле Мынчалык кичинекей бир бөлүгүндө кароого алынат кантип, имараттын күч көз каранды - математика.

Ошондуктан, эсеп суроо, Жооп жөнөкөй эле: ал сандардын илим болуп саналат. Ооба, кадимки жети, тогуз, бул ар түрдүү жамааттын бардык. Ошондой эле, ошондой эле, жана ал көпчүлүк окугандар аяттар аритметикасы да негизги милдеттерди чечүү мүмкүн эмес эле, негизги тамгаларынын эле жаза албайт. Бул бардык илимдер, негизинен, божомолдоолорду жыйындысы болуп, математика жана математика иштеп чыккандан кийин гана ортого эмне болот.

Arithmetic - илимий-арбак

табигый илим же арбак - эсептөө деген эмне? байыркы грек ойчулу, талкуу болгону менен, эч кандай сандар, чындыгында эч кандай маалыматтар жок. Ал айлана-чөйрөнү жана анын кайра карап, адамдын ой-жылы түзүлгөн бир элес, болот. Чынында эле, саны кандай болот? Nowhere кыдырып, ушуга окшогон нерселерди номерин мүмкүн көргөн жокмун, тескерисинче, саны - адам акыл-дүйнөнү изилдөө ыкмасы болуп саналат. Балким, бул изилдөө өз ичине бар? Ойчулдар ошондуктан биз жасоого эмес, толук жооп берүү үчүн бир катар көптөгөн кылымдар бою бул тууралуу талашып. Кандай болбосун, эсеп ушунчалык бекем азыркы дүйнөдө өз ордун эч ким алып коомдук пайдубалы билими жок ылайыкташтырылган каралышы мүмкүн эмес.

бир оң бүтүн бар эле

Албетте, негизги объектиси, математиканы иштейт, алардын ичинен, - мисалы, 1 табигый катар, 2, 3, 4, ..., 152 ... ж.б. Сандардын натуралдык Arithmetic мындай шиберде уй жөнөкөй объектилерди, анын эсебинен натыйжасы болуп саналат. Ошентсе да, "өкчөмө таш ыргытып, бир" аныктамасы же "бир аз" бир нерсе адамдарды кармап токтоткон, жана татаал эсептөө ыкмасын ойлоп керек болчу.

Бирок, чыныгы ачылыш адамдын акылы бири болушу мүмкүн маанисин жана "эки" дайындайт жана 2 кг бирдей санда, ал эми 2-кыш жана 2-бөлүктөрү жеткенден кийин келди. бул түрлөрү, өзгөчөлүктөрү жана объекттерди мааниси топтоо зарыл экенин, анда биз оң бүтүн түрүндө, бул объекттер менен кандайдыр бир иш-аракет пайда болот. Ошентип, андан ары иштелип чыккан жана коомдогу ээлеген менен өзгөрдү жатат сандардын, математиканы, туулган.

Мындай кылдат нөлдүк жана терс сан сыяктуу эле, саны жөнүндө түшүнүк, ошондуктан бөлчөктөрдү, саны, башка жолдор менен номурларына сөз өнүгүү бай жана кызыктуу тарыхы бар.

Arithmetic жана практикалык мисирликтер

дүйнөнүн изилдөөнүн эки байыркы адамдын досу жана күнүмдүк маселелерди чечүү - бул эсептөө жана геометрия.

Индия, Египет, Бабыл жана Кытай: Бул кошууну тарыхы Байыркы Чыгыштын, анын келип чыгышын бар деп айтылып жүрөт. Ошондуктан, Райнд папирус Египеттин чыгышы (демек, менчик ээсине таандык болгон ушул эле аты аталган), кайра XX кылымдын таандык. BC, башка баалуу маалыматтардан тышкары ар кандай нукталарын жана бир барабар алым менен бөлчөк өлчөмүндө кымындай өнүктүрүүгө камтыйт.

Мисалы: 1/60 + = 2/73 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Бирок, мынчалык комплекстүү бир бузулуу кандай мааниси бар? Египеттин мамиле номерлери жөнүндө ойлонуп баркын элестетүүгө чыдай бербейт деп, тескерисинче, эсептөөлөр практикалык максаттарга жетүү үчүн гана жасалган. Башкача айтканда, мисирликтер гана мүрзөгө куруу үчүн, эсептөөлөр сыяктуу бизнес менен алек болот, мисалы. Бул FIN структурасын созуларын эсептөө үчүн зарыл болгон, ал адам папирус отуруу үчүн жасалган. Көрүнүп тургандай, эсептөөлөр боюнча Египеттин прогресс эмес, илим менен сүйүүгө караганда, куруу, тескерисинче, массалык, деп аташты.

Ушул себептен улам, папирустар жөнүндө табылган эсептөөлөр, ошондуктан бөлчөктөрдү жөнүндө ой жүгүртүп, деп айтууга болбойт. Кыязы, бул андан ары бөлчөктөрдү маселелерин чечүүгө жардам практикалык даярдоо болуп саналат. Байыркы мисирликтер көбөйтүү үстөл, бир кыйла узун эсептөөлөрдү өндүрүлгөн көптөгөн subtasks кирип жайылып билген эмес. Балким, бул ошол subtasks бири болуп саналат. Бул бланк менен эсептөөлөр көп убакытты талап кылат жана абдан келечектүү эмес экенин байкабай коюу кыйын. Балким, ушул себептен, биз байыркы мисирлик математика өнүктүрүүгө чоң салым көрө элекпиз.

Байыркы грек жана күнүмүк Arithmetic

Байыркы Чыгыштын билимдин көбү ийгиликтүү абстракттуу, абстракттуу жана методологиялык чагылдыруу күйөрмандары белгилүү байыркы гректер менен өздөштүрүп алышты. аз нерсе аларды кызыкдар болгон иштерди, бирок мыкты теоретик менен ойчулдар табыш кыйын болот. Чындыгында, аны жара эмес, математика, терең баруу мүмкүн эмес, анткени, бул илим үчүн да жакшы болду. Албетте, 10-уй, сүт 100 литр көбөйүп, мүмкүн, бирок алыс көчүп мүмкүн эмес.

Гректер аябай тарыхындагы маанилүү калтырып ой, алардын иштери да бизге келип:

• Euclid жана "элементтери".
• Pythagoras.
• Архимед.
• Eratosthenes.
• Zenon.
• Anaxagoras.

Анан, албетте, гректер бардык көз карашын баш тартса, ошондой эле өзгөчө учурларда Pythagoras жолдоочулары аларды сыр дүйнө шайкештиги каралат саны жөнүндө ушунчалык толкунданган эле. сандар жана алардын жубайлардын кээ бир өзгөчө касиеттери таандык экенин, ошондуктан, изилдеп, иликтөөгө алынган. Мисалы:

• Perfect номерлер - саны башка бардык divisors суммасын экенин ал өзү (3 + 6 = 1 + 2).
• Достук сандар - экинчи жана тескерисинче бардык divisors суммасы алардын бири бул сандар, (Pythagorean бир гана ушундай жуп билем: 220 жана 284).

илим менен пайда көрүш үчүн +, аны менен бирге болууга макул болгон жок, жакшы болуш керек деп, гректер да, чалгындоо, кайра иштетүү, ойноп жана сандарды кошуп, улуу прогресске жетишти. Ал эмес, изилдөө бардык көп колдонулат, алардын айрымдары гана болгон да белгилей кетүү керек ", кооздук үчүн."

Орто кылымдарда Чыгыш ойчулдары

Ошо сыяктуу эле, орто кылымдарда чыгыш замандаштарына, анын өнүгүшүн карыз аритметикасы. Түпкүлүктүү бизге жигердүү биз сандар "нөл" сыяктуу бир нерсени пайдаланып, абалы өзгөрө берген эсептөө системасын, кадимки заманбап кабылдашат. Самаркандда 15-кылымда иштеген Al-ботко жасап, биз тукум , ондуктарды заманбап, математиканы элестетүү кыйын болгон жок.

Көп жагынан алганда, Европа чыгыш үлгүдөгү тааныштыруу, китеп "агента Абажу" деп жазган италиялык илимпоз Леонардо Fibonacci, чыгыш жетишкендиктери иштин аркасы менен мүмкүн болгон менен таанышты. Бул алгебранын жана кошууну, Europe изилдөө жана илимий иш-чараларды иштеп чыгуу бурчка коюлуучу негизги таш болуп калды.

Россиянын эсеп

Акыр-аягы, дисперсия, өз ордун таап, Europe тамыр элек, орус жеринде тарай баштады. Орусиянын биринчи эсеп 1703-жылы басылып чыккан - бул санариптик Leontiya Magnitskogo жөнүндө китеп болгон. узак убакыт бою ал математика гана коп. Бул, алгебра менен геометрияны алгачкы мүнөттөрүн камтыйт. Орусиянын кошууну биринчи окуу, араб мисалдар колдонулган көрсөткүчтөр. Араб сандары тосуп карабастан, 17-кылымда кайра сүйлөшө жазуусунда болгон.

Китептин өзүндө Архимед жана ойчул сүрөттөр менен кооздолгон, ал эми биринчи бет - аял катары сүрөт кошууну. Ал, ошондой эле Кудайдын ысмы үчүн Hebrew сөзүнө жазылган астында, жана жазылган курмандык чалынуучу жайга, алып кадамдар жөнүндө сөз "бөлүштүрүү", "көбөйтүү", "кошумча", жана, тактыда отурган. D. One чыккынчылык кайсы бир гана элестете алам азыр кадимки болуп эсептелет, мисалы, чындыкты.

600 беттен турган китеп сыяктуу кошумча жана көбөйтүү столдор жана navigational илимдерге өтүнмөлөрдүн негизинде катары сүрөттөлөт.

Ошондуктан, жазуучу, деп, ал өзү да кошууну кооздугу менен кооз экен, анткени "Arithmetic ... nezavistnoe бар, калыс сен chislitelnitsa элек", анын китебинен грек ойчулдары образын тандап алган. анын жайылган кабыл алуу Россия жана жалпы билим берүү менен илимий ой-тез өнүгүүсүнүн башталышы деп эсептөөгө болот, анткени, жалпы жонунан, мындай мамиле, ошондой эле, негизделген.

Саманчынын Primes

Өкмөт саны - бул табигый саны 2 гана оң divisors: 1 өзү. 1 тышкары, бардык башка саны, курама аталат. сандарынын мисалдары: 2, 3, 5, 7, 11, жана divisors 1 башка жана саны өзү эмес, ар башка.

саны боюнча 1, ал сыйлык болуп саналат - бул да жөнөкөй да, татаал каралышы керек макулдашуулар бар. Биринчи караганда жөнөкөй, жөнөкөй сан өз ичинде көптөгөн чечилбеген сырларды жашырган.

Euclid теоремасы жөнөкөй гана калтырып, татаал сандар жок чексиз Primes саны жана Eratosthenes, атайын эсеп "электен" менен келди деп айтылат.

Анын негизи биринчи Undelete санын баса болуп саналат, ал эми кийинки өлтүрүп чыккан да ошол санын берет. Бул жол-жоболор бир нече жолу кайталап - жана өкмөт сандардан турган үстөл аласыз.

кошууну негизги теориясы

өкмөт номерлери жөнүндө байкоолор арасында атайын негизги эсеп теоремасы сөз керек.

Негизги эсеп теоремасы айтылат 1 ашуун ар кандай бүтүн сан, же жөнөкөй же кайталоо себептерден улам гана жол буйругу чейин өкмөт сандардан турган буюмдун айланмак болот.

кошууну негизги теоремасы абдан татаал болуп, ал жөн гана негиздерин эмес, түшүнүү.

Бир караганда, өкмөт номерлер - башталгыч түшүнүгү, бирок андай эмес. Ааламды Ошондой эле ал ааламдын ичинде табылган чейин, бир башталгыч атом болуп эсептелет. Primes сонун окуя математик Дон Zagier арналган "биринчи элүү миллион жөнөкөй сандар."

кемитүүнүн мыйзамдарына "үч алма" From

Бул, чынында эле, ар кандай илим күчөтүлгөн пайдубалы деп атоого болот - кошууну мыйзамдары. Ал балалык кезинде эле бардык эсеп бети, ж.б.у.с. куурчактары боюнча колдору менен буттарын санын, антпесе, алма санын жана изилдөө. D. Ошентип, биз бир топ татаал эрежелерин эске илгерилесе, математиканы, изилдөө.

Биздин Өмүр бою бул илимдин абдан пайдалуу берет карапайым адам болгон кошууну эрежелери, бизди тааныштырат. номерлер изилдөө - бул кичинекей кезинен сан сыяктуу номерлерди дүйнөгө адамды киргизет "Arithmetic-бала" болуп саналат.

Жогорку Arithmetic - кошууну мыйзамдарын изилдейт кемитүүнүн илим. Балким, биз алардын так сөздөрдү билбейм, бирок алардын көбү биз билебиз.

Мындан тышкары, көбөйүүнүн мыйзам

Ар бир эки бүтүн а жана б-да натуралдык сан болуп + Б, суммасы катары көрсөтүлүшү мүмкүн. кошууга байланыштуу төмөндөгү мыйзамдар:

• Commutative, терминдердин орун алмаштыруу өзгөртүү эмес, суммасын таратат, же + б = б + бир деп айтылат.
• Associative суммасы жерлерде терминдерди бириктирүүчү ыкмасы боюнча көз каранды эмес, же + (B + C) = мындай деди: (а + б) + C.

Мындай кошумча катары кошууну эрежелери, - негизги бири, бирок алар, күнүмдүк жашоону сөз эмес, бүт илимдерди колдонулат.

Ар бир эки бүтүн а жана б буюмдун же табигый саны бир б * а * б, берилиши мүмкүн экендиги белгилүү. чыгарманы бир эле commutative жана Associative мыйзамдарга толуктоо үчүн кайрылууга:

• а * б = б * а;
• а * (б * с) = (а * б) * с.

Мындан тышкары, бөлүштүрүү же бөлүштүрүүчү мыйзам катары белгилүү тышкары жана арттыруу, биригип бир мыйзам бар экенин кызыктуу:

бир (б + с) = а + AC

Бул мыйзам аларга ачып, кашаанын менен иштөөгө үйрөтөт, биз буга чейин эле бир топ татаал акысы менен иштей алат. Бул Алгебранын кызыктуу, бирок татаал дүйнөдө аркылуу алып мыйзамдар болуп саналат.

Укук тартиби Arithmetic

адамдык логиканын мыйзамдары тууралуу, аны улам-улам саатын карап жана төлөмдөрдү эсептөө, күн сайын колдонот. Ошондой эле, ошентсе да, бул белгилүү бир тилде болушу керек.

Биз эки оң бүтүн сан болсо жана б, анда төмөнкү параметрлерди:

• А барабар, же = б;
• бир б кем, же <б;
• бир б, же> B жогору болуп саналат.

үч тандоо жөн гана болушу мүмкүн. жол-жоболорун жөнгө салуучу негизги мыйзам, мындай деди: <б жана б <ш болсо, анда <с.

Мындан тышкары, көбөйүүнүн максатында аракеттерине байлап, ошондой эле мыйзамдар бар:

кошууну мыйзамдары сандардын гармониялуу музыка баарын бурулуп, сандар, жышаандар жана кашаалар менен иштөө керектигин үйрөткөн.

Турумдук жана nonpositional номерлөө системасы

Бул көп жагынан көз каранды болгон жайлуулугу тартып математика тили болуп саналат, - Биз сандар деп эмне үчүн айта алабыз. ар кандай тилде алиппе ар кандай болуп, көптөгөн эсептөө системалары бар.

Бул абалда орундуу сандык маанисине таасир кызматтарга карашынан саны системасын карап көрөлү. Мисалы, Рим системасы ар бир катар атайын белгилердин белгилүү бир топтомун тарабынан коддолгон кайда nonpositional турат: I / V / X / L / C / D / M. Алар, тиешелүүлүгүнө жараша, саны 1/5/10/50/100/500 / 1000. Бул системанын ичинде сүрөттө кандай орду жараша, анын сандык чечкиндүүлүк өзгөртүү эмес, ал керек .. биринчи, экинчи, ж.б. номерлерди алуу үчүн, ал базаны жатып зарыл. Мисалы:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

бизге көбүрөөк тааныш чот системасы араб сандары менен турумдук болуп саналат. Мындай системада агып саны сан санын аныктайт, мисалы, үч сандан турган номерди: 333, 567, ж.б. ондук системасын таштоого эч кандай салмагы экинчи абалда 8 көрсөткүч бир же бир башка, мисалы, сүрөт турган абалга көз каранды 80. Бул мүнөздүү бир мааниге ээ, мисалы, бинардык башка турумдук системасы бар.

экилик эсептөө

Биз бир аз жана көп-бит сандардан турган, тааныш ондук система болуп саналат. орундуу санынын Сол жактагы сүрөттө укугу боюнча бир маанилүү он эсе жогору. Ошондуктан, биз 2 окучу, 17, 467, жана башкалар. D. Бул аталган башка логика менен мамиле бөлүгү болуп саналат, "Экилик аритметикасы." Экилик эсептөө адамдык логиканын үчүн жаратылган эмес жана ЭЭМ үчүн, анткени бул калыштуу эмес. сандарды эсептөө ары тийиш болгон мүлккө, "жылаңач" эсеп тартып абстрактный эсептөө, пайда болгон болсо, анда бул сиздин менен иштебейт. ЭЭМ, алардын билимдерин бөлүшө ала турган, бир киши бир модель ойлоп эсептөө керек болчу.

Экилик эсептөө 0 жана 1 гана турат бинардык тамгалары менен иштейт Бул алиппесин колдонуу экилик система деп аталат.

Сол кызматына мааниси мындан ары 10 деп экилик эсептөө ондук айырмаланып, 2 эсе. Экилик түрүндө болуп, 111, 1001 жана башкалар. D. Бул номерлерди кандай түшүнсөк болот? Ошондуктан, биз бир катар 1100 карап

1. Биринчи орундуу сол - 1 * 8 = 2 көбөйтүлгөн керек дегенди билдирет 8, төртүнчү орундуу экенин эске алып, биз 8-орунда турушат.
2. Экинчи орундуу 1 * 4 = 4 (кызмат оруну 4).
3. үчүнчү 0 * 2 = 0 (кызмат оруну 2).
4. төртүнчү орундуу 0 * 1 = 0 (кызмат орду 1).
5. Ошентип, биздин саны 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Башкача айтканда, бинардык системада анын маанисин сол бир категориясына өтүү 2 жана ондук көбөйтүлөт - 10. Мындай система бир жетишпеген жагы бар: бул сандарды жазуу үчүн зарыл болгон өтө чоң өсүш = лъкт = болуп саналат. Мисалы, ондук сандар төмөнкү жадыбалда байкоого болот dvochinyh.

Ондук сандар төмөнкү бинардык түрүндө берилет.

Ошондой эле Octal колдонулат жана алтылык номерлөө системасы.

Бул табышмактуу эсеп

Математика, "эки плюс эки" же сандардан изилдене элек сырлары бар? Көрүнүп тургандай, дисперсия, мүмкүн, жана аны бир караганда жөнөкөй, бирок ал ачык алдамчы тынчтыктын эмес, көрүнөт. Ал балдар жана карикатуралардын Полли Owl менен бирге "Arithmetic-балага" окууга болот, жана терең илимий изилдөөлөрдү дээрлик таанымдык тартиби чумкуп кирет. Тарыхта бул сандын сулуулугун ибадат кылуу объекттерин санап чыгып кетти. Бир нерседен шектенбесек болот: кошууну негизги өзгөчүлүктөрүн белгилөө менен, бардык илим анын күчтүү ийнине таяна алабыз.