Учак салмактуулугу: кантип жасоо керек? Түрлөрү учак тендемелер

учак космостук ар түрдүү жолдор менен (бир чекит жана оору, багыты жана эки, үч упай, ж.б.) менен аныкталышы мүмкүн. Бул акыл менен эмес, самолет барабардык ар кандай түрлөрү болот. Ошондой эле белгилүү бир шарттарда учак болушу мүмкүн параллелдүү, өлчөм, кайчылашкан ж.б. Бул жөнүндө ушул макалада талкуулайбыз. Биз учак менен гана эмес, жалпы элементтердин да жасоого болот.

салмактуулугунун кадимки түрү

R тик бурчтуу системасы XYZ координаттар бар космос _3, деп ойлойм. Биз баштапкы чекит O. тартып багыты А-жылдын акырына карата аркылуу бошотулат турган багыты α, ага перпендикуляр болгон учак Р алганы аныктайт.

эркин ой Р С билдирет = (X, Y, Z). пункту С белгиси кат-б диаметри багыты. багытка узундугу А-б = IαI жана ʋ барабар = (cosα, cosβ, cosγ).

Бул оору КЫ эле багытта багытталган бирдиги багыты. α, β жана γ - Z, тиешелүүлүгүнө жараша, багытына жана оң багытта ʋ космос балта менен иштетти, ю ортосунда түзүлөт бурчтар болуп саналат. Оору QεP ʋ жөнүндө пунктун долбоорлоо-б (б, ʋ) = б (r≥0) барабар болгон туруктуу болот.

кийин б = 0 Жогоруда барабардык мазмундуу болот. бул учурда бир гана н учак, пункт O (α = 0), анын багыттары, багыттуу ʋ аныкталат дегенди билдирет да пункту O, P перпендикуляр болот бошотулуп келип чыгышы жана бирдиги багыты ʋ болуп өтүп, белги чейин. Мурунку барабардык биздин учак P болуп, багыттуу түрдө билдирди. Бирок, анын координаттарын эске алуу менен эсептелет:

P көбүрөөк же 0. барабар Биз нормалдуу түрдө самолет аркалашат таптым.

жалпы туюнтмасы

координаттарында салмактуулугу нөлгө барабар эмес, кандайдыр бир катар көп болсо, биз абдан учакты аныктайт бул барабардык барабар алуу. Ал төмөнкү түргө ээ болот:

Бул жерде, A, B, C - нөлдүк бир эле убакта ар түрдүү саны болуп саналат. Бул салмактуулугу учак жалпы түрүндө салмактуулугу деп аталат.

учак тендемелер. Атайын учурлар

барабардык жалпысынан кошумча шарттар менен өзгөртсө болот. Алардын айрымдарын карап көрөлү.

сандары А 0. Бул алдын ала огу музоо үчүн самолет окшоштук экенин көрсөтүп турат деп ойлойбуз. Бул учурда эсептөөлөр түрү өзгөрүп: Wu + Cz + D = 0.

Ошо сыяктуу эле, илгерки түрү жана төмөнкү шарттарга жараша ар кандай болот:

• Биринчиден, Б = 0 болсо, огу Ой үчүн параллелизм көрсөтүп турган кадамдарын Ax + Cz + D = 0 өзгөрүүлөр.
• Экинчиден, С = 0 болсо, барабардык Ax + By + D = 0 айланып жатат, деп алдын ала огунун Oz менен катар жөнүндө айтууга болот.
• Үчүнчүдөн, D = 0 болсо, барабардык самолет O (келип чыгышы) кесип дегендик Ax + By + CZ = 0, ошондой эле пайда болот.
• Төртүнчүдөн, эгерде = B = 0, окси параллелизм сунат барабардык Cz + D = 0 өзгөрүүлөр.
• Бешинчиден, эгерде Б = C = 0, барабардык учак Oyz дал келет дегенди билдирет Ax + D = 0, болуп калат.
• Алтыншыдан, эгерде = C = 0, барабардык түрүндө Инчуан + D алат = 0, б.а., параллелизм Oxz алдында отчет берет.

сегменттеринде салмактуулугунун түрү

кайда саны бир учурда, B, C, D нөлдөн айырмаланган, кашаанын түрү (0) болуп төмөнкүлөр болушу мүмкүн:

х / а + ж / б + Z с / = 1,

умтулабыз = -D / A, б = -D / B, C = -D / C.

Биз талкалады учак жыйынтыгы боюнча эсептөөлөр катары кабыл алуу. Бул учак координаттар менен учурда х-огу кесилишинде турган (а, 0,0) белгилей кетүү зарыл, Ой - (0, б, 0), жана Оз - (0,0, с).

барабардык х / а + ж / б + Z / с = 1, алдын ала белгилүү бир координаттар системасында үчүн жайгаштыруу учак тууганы элестетүүгө кыйын эмес берилген.

нормалдуу багытка координаты

учак-жылы кадимки тараткычтарды н учак жалпы салмактуулугун, б.а. N (A, B, C) дын сандары бар координаттары бар.

нормалдуу-жылдын координаттарын аныктоо үчүн, бул учак берилген жалпы элементтердин билүү үчүн жетиштүү болуп саналат.

түрү бар бөлүмүндө аркалашат пайдаланууда х / а + ж / б + Z / с = 1, жалпы эсептөөлөр менен болгондой эле, биз да бир учак ченемдүү багыты кандайдыр бир координаттарын жазууга болот: (1 / а + 1 / б + 1 / с).

Бул жардам кадимки багыты ар кандай маселелерди чечүү үчүн белгилей кетүү керек. көпчүлүк жалпы маселелер далил перпендикуляр же параллелдүү тегиздикте турган болсо, учактар жана учактар менен түз сызыктардын арасындагы бурч ортосундагы бурчту табуу милдети.

пункту нормалдуу багыты учак эсептөөлөр жана координаттары боюнча Тип

А nonzero тараткычтарды н, бир учак перпендикуляр болгон, белгилүү бир учак үчүн нормалдуу (нормалдуу) деп аталат.

космосто координаттардын (тик бурчтуу координаттар системасы) Oxyz койду дейли:

• Mₒ координаттар менен чекит (hₒ, uₒ, zₒ);
• нөл багыты н = мен B * J + C * K + A *.

Силер кадимки N перпендикуляр Mₒ чекит аркылуу өткөн учактан аркалашат керек.

космосто биз эч кандай негизсиз ойду тандап жана М билдирет (X, Y, Z). Ар бир чекити M диаметри багыттарын (X, Y, Z) = р болот х * мен ж * J + Z * K +, бир чекит Mₒ диаметри багыты (hₒ, uₒ, zₒ) болсун - rₒ = hₒ * мен uₒ + * J + zₒ * к. пункту M багыты MₒM багыты N перпендикуляр болгон болсо, бир учак таандык болот. Биз скалярдык чыгарманы пайдалануу orthogonality абалын жаз:

[MₒM, н] = 0.

MₒM = р-rₒ бери учак багыттуу салмактуулугу ушундай болот:

[R - rₒ, н] = 0.

Бул барабардык дагы бир абалда болушу мүмкүн. Бул максатта, скалярдык көбөйтүндүсү касиеттери жана эсептөөлөр сол тарабын өзгөрттүк. [R - rₒ, н] = [р, н] - [rₒ, п]. [Rₒ, н] S деп белгиленет болсо, биз төмөнкү алуу: [р, н] - а = 0 же [р, н] = с учакты таандык берген пункттардын радиусу-багыттын нормалдуу багытка прогноздук туруктуулугу билдирет.

Эми сиз түрү жазуу учак биздин багыттуу координат ала алат [R - rₒ, н] = 0 бери р-rₒ = (х-hₒ) * мен + (ж-uₒ) * J + (Z-zₒ) * к, жана н = мен B * J + C * K + A *, биз:

Бул биз барабардык кадимки N перпендикуляр Чекит аркылуу өткөн учакты пайда бар экен:

A * (х hₒ) + B * (ж uₒ) S * (Z-zₒ) = 0.

учак эсептөөлөр жана оору учак колинеардуу эки чекиттердин координаттары боюнча Тип

Биз эки негизсиз упайлар М '(х', ж, з) аныктоо жана М "(X" ж ", Z"), ошондой эле багыттарын (а, а ", бир ‴).

Азыр биз барабардык учурдагы жагдай M аркылуу өтөт учагын алдын ала жана M ", жана бир багытка ар бир ойду координаты M менен (X, Y, Z) катар жаза алам.

Ошентип, M'M багыттар х = {X ', и-и "; ZZ'} жана M" M = {X "-x", ж ж; з "-z '} багытка менен Компланардуу болушу керек а = (а, а ", бир ‴) дегенди билдирет, (M'M M" M, а) = 0.

Ошентип, космоско бир учак биздин салмактуулугу ушундай болот:

учак салмактуулугунун түрү, арадан үч упай

Кел, үч упай бар дейли: (X ', ж, з), (х, ж, з), (х ‴ эмнени ‴, Z ‴) Ошол саптагы таандык эмес, турган. Бул көрсөтүлгөн үч жерлеринен өтүп учак аркалашат жазуу зарыл. геометрия теориясы учак бул бир эле гана эмес, бар деп ишенет. Бул учак ойду кесип болгондуктан (X ', ж, з), анын параметрлери түрү болот:

Бул жерде, A, B, C жана ошол эле учурда нөлдөн айырмаланган. Ошондой эле бул учак дагы эки пункт кесип (х "ж", Z ") жана (х ‴, ж ‴, Z ‴). Ушуга байланыштуу шарттарды ушул түрүн ишке ашырылууга тийиш:

Азыр биз бирдиктүү системасын түзүү мүмкүн тендемелердин (сызыктуу) жана белгисиз у, V, W менен:

Биздин учурда X-жылы ж же Z аркалашат (1) канааттандырат эркин ойду турат. Жогоруда элементтердин (1) жана ишмер тендемелердин системасы (2) жана (3) пункттарында көрсөтүлгөн тендемелердин системасы эске алуу менен, багыттуу канааттандырбай N (A, B, C) кырылганын болгон. Бул системанын аныктоочу нөлгө барабар болот.

Equation (1) бар экенин, бул учак салмактуулугу болуп саналат. 3-пункт, ал чын эле барат да, аны текшерүү үчүн жеңил болот. Бул үчүн, биз биринчи катарда элементтер менен детерминанттарынын кеңейтүү. Учурдагы касиеттери аныктоочу биздин учак бир эле убакта үч башында алдын ала ойду кесип экенин төмөнкүчө (х, ж, з), (х "ж", Z "), (х ‴, ж ‴, Z ‴). Ошентип, биз алдында бир ишти чечкен.

тегиздиктеринин ортосундагы бурч Dihedral

Dihedral бурч түз сызыктан чыккан эки жарым учактары тарабынан түзүлгөн мейкиндик геометриялык түзүлүш болуп саналат. Башка сөз менен айтканда, жарым-учак менен чектелген мейкиндиктин бир бөлүгү.

Биз төмөнкү барабардыкты менен эки учагы бар дейли:

Биз тараткычтарды N билебиз = (A, B, C) жана N¹ = (A¹, H¹, S¹) алдын ала учак боюнча багыт болуп саналат. Бул жагынан алып караганда, бул учактар ортосунда жайгашкан багыттары ортосундагы φ бурчу N жана N¹ бирдей бурч (dihedral). скалярдык көбөйтүндүсү менен берилет:

NN¹ = | N || N¹ | ¼т¼¼д¼н баш φ,

так, анткени

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (Я + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Бул 0≤φ≤π карап үчүн жетиштүү болуп саналат.

Чынында кесилишкен эки учак, түрү, эки бурчу (dihedral): φ ₁ жана _{2 φ.} Алардын суммасы (φ ₁ + ₂ = φ П) П барабар. Алардын cosines үчүн, алардын абсолюттук мааниси бирдей, бирок алар башкача айтканда, ар кандай белгилери, кызмат ¼т¼¼д¼н φ ₁ = -cos φ _2. эсептөөлөр Эгерде (0) тиешелүү түрдө A, B жана пайгамбар, -Б С жана -C менен алмаштырылса, эсептөөлөр, ээ, ошол эле учак менен аныктайт, барабардык кызмат ¼т¼¼д¼н титирөөнүн менен φ гана бурч = NN ¹ / | N || N ¹ | Бул π-титирөөнүн менен алмаштырылат.

тик учак салмактуулугу

учак перпендикуляр чакырып, алардын ортосундагы бурч 90 градус болот. Жогоруда келтирилген материалды колдонуу менен, биз башка тик учак менен элементтердин да таба аласыз. Биз эки учак дейли: Ax + By + Cz + D = 0 жана + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. кызмат ¼т¼¼д¼н = 0 болсо, биз алар тик болуп саналат деп айтууга болот. Бул деген NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

параллелдүү учак салмактуулугу

Бул жалпы эч кандай ойлорду камтыган эки удаалаш учак айтылган.

абалы параллелдүү учак (алардын тендемелер мурунку пунктта эле) алардын перпендикулярны багыттары N жана N¹, башкача айтканда, колинеардуу. Бул үчүн төмөнкүдөй шарттар шайкеш кабыл алды деп билдирет:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

катыштык терминдер көбүрөөк болсо - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

Ушул эле маалымат учак экенин көрсөтүп турат. Бул барабардык Ax + Cz + менен + D билдирет = 0 + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 бир учакты сүрөттөйт.

тегиздикке карашынан расстояние

биз (0) тарабынан берилген бир учак Р бар дейли. Бул координаттар менен карашынан аралыкты табуу керек (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. Сен аны мындай жаса учак II нормалдуу көрүнүшү аркалашат кылуу зарыл:

(Ρ, V) б = (r≥0).

Бул учурда, ρ (X, Y, Z) н б жайгашкан биздин жагдай С, радиусу багыты болуп саналат - н өнүкпөй бошотулган болчу перпендикуляр, узундугу, V - бул багытта чара жатат бирдиги багыты болуп саналат.

айырмасы ρ-ρº радиусу бир чекит С багыты = (X, Y, Z) P жана бир-пунктунун радиусу багыты С ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) таандык болгон, багыттуу, алардын долбоорлоо абсолюттук мааниси боюнча V С из зарыл расстояние д, барабар = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) P үчүн:

D = | (ρ-ρ ^0, V) |, бирок

(Ρ-ρ ^0, у) = (ρ, V ) - (ρ ^0, V) б = (ρ ^0, V).

Ошондуктан, экен

г = | (ρ ^0, V) б |.

Азыр бул учак суткада С ₀ алыстыгы д эсептөө үчүн айкын, силер барабардык учактан кадимки түрүн, ошондой эле дарыянын сол жагына көчүрүлгөн, ал эми X акыркы орунда, Y, Z ордуна (hₒ, uₒ, zₒ) колдонуу керек.

Ошентип, биз д талап кылынат, натыйжада сөз абсолюттук маанисин таба.

тилинде параметрлерин колдонуп, биз анык алуу:

д = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (Я + V² + s²).

багытка ортосундагы анда көрсөтүлгөн пункту С _0, келип чыккан учак P башка тарапта болсо, ρ-ρ ⁰ Кор бир оор бурч, мында:

г = - (ρ-ρ ^0, у) = (ρ ^0, V) -p> 0.

U-жылдын ушул эле жагында жайгашкан чыгышы менен бирге пункт С _0, тар бурч түзүлгөн учурда, башкача айтканда:

г = (ρ-ρ ^0, V) б = - (ρ ^0, V)> 0.

Натыйжада мурдагы иши (ρ ^0, V) менен болот> б, экинчи (ρ ^0, V) <-б.

Анын жаныма тегиздиктер барабардык

tangency Mº пунктунда бетине учакты жөнүндө - бетинде ошол маалда аркылуу тартылып сызыгын үчүн мүмкүн болгон бардык жаныма камтыган учак.

Бул жер бетиндеги барабардык түрүндө менен F (X, Y, Z) = 0 жаныма тегиздиктер жаныма пункту Mº илгерки-жылы (hº, uº, zº) болот:

F _X (hº, uº, zº) (hº х) + F _х (hº, uº, zº) (uº ж) + F _х (hº, uº, zº) (Z-zº) = 0.

бети ачык Z белгиленет = е (X, Y) болсо, анда жаныма тегиздиктер жардамы менен баяндалат:

я-zº = е (hº, uº) (hº х) + е (hº, uº) (ж uº).

эки учак менен кесилишет

Жылы үч өлчөмдүү космос бири менен дал келген жок, системасы (бурчтуу) Oxyz, P 'жана P' эки учак берген макулдашуу болуп саналат. жалпы эсептөөлөр тарабынан аныкталган бир тик бурчтуу координаттар системасы кайсы бир учак болгондуктан, биз н жана н "тендемелердин A'x + V'u S'z + + D тарабынан аныкталат '= 0 жана А" + B х + у деп ойлойбуз "Z + D" менен = 0. Мындай учурда биз кадимки N '(А, Б, C') бар учак P "жана нормалдуу N" (А ", B" C ") учак Р" деген. биздин учак дал менен дал келбесе жок болгондуктан, бул багыттар колинеардуу эмес. N '≠ н "↔ (A, B, C') ≠ (λ * жана", λ * Мектепте ", λ * C"), λεR: математика тилин колдонуп, бул шарт болуп жазылышы мүмкүн. кесилиши P жатат түз сызык "∩ P жана P, бул иш = P каттын бир тарабынан белгиленет болот" "болсун.

жана - пунктка (жалпы) P 'жана P учак "ишке ашырган бир сабын турган. Бул сызык таандык каалаган координаты, бир эле учурда барабардык A'x + V'u S'z + + D '= 0 A "X + B' + C ж" Z + D "= 0 канааттандыруу керек дегенди билдирет. Бул пункттун координаты төмөнкү барабардыкты бир чечим болот деп билдирет:

натыйжасы тендемелердин бул дүйнөнүн чечим (жалпы) түйүндүү маселе P "жана P" чекити катары иш-аракет кылат сапта пунктка ар бир координаттарын аныктоо, ошондой эле системанын Oxyz (бурчтуу) мейкиндик координаттардын сызыгын аныктоо болот.